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第一章 有理數

1.1 正數與負數

①正數：大于0的數叫正數。（根據需要，有時在正數前面也加上“+”）

②負數：在以前學過的0以外的數前面加上負號“—”的數叫負數。與正數具有相反意義。

③0既不是正數也不是負數。0是正數和負數的分界，是唯一的中性數。

注意：搞清相反意義的量：南北；東西；上下；左右；上升下降；高低；增長減少等。

1.2 有理數

1.有理數：

（1）整數：正整數、0、負整數統稱整數；

（2）分數：正分數和負分數統稱分數；

（3）有理數：整數和分數統稱有理數。

2.數軸：

（1）定義 ：通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫數軸；

（2）數軸三要素：原點、正方向、單位長度；

（3）原點：在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點；

（4）數軸上的點和有理數的關系：所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點，不都是表示有理數。

3.相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。（例：2的相反數是-2；0的相反數是0）

4.絕對值：

（1）數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|。從幾何意義上講，數的絕對值是兩點間的距離。

（2）一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。兩個負數，絕對值大的反而小。

1.3 有理數的加減法

①有理數加法法則：

a.同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

b.絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。

c.一個數同0相加，仍得這個數。

②有理數減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數。

1.4 有理數的乘除法

①有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；

任何數同0相乘，都得0；

乘積是1的兩個數互為倒數。

乘法交換律/結合律/分配律

②有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數；

兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；

0除以任何一個不等于0的數，都得0。

1.5 有理數的乘方

1.求n個相同因數的積的運算，叫乘方，乘方的結果叫冪。在a的n次方中，a叫做底數，n叫做指數。負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數，0的任何次冪都是0。

2.有理數的混合運算法則：先乘方，再乘除，最后加減；同級運算，從左到右進行；如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。

3.把一個大于10的數表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科學計數法，注意a的范圍為1≤a <10。

第二章 整式的加減

2.1 整式

1.單項式：由數字和字母乘積組成的式子。系數，單項式的次數。單項式指的是數或字母的積的代數式。單獨一個數或一個字母也是單項式。因此，判斷代數式是否是單項式，關鍵要看代數式中數與字母是否是乘積關系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、減運算關系，其也不是單項式。

2.單項式的系數：是指單項式中的數字因數；

3.單項數的次數：是指單項式中所有字母的指數的和．

4.多項式：幾個單項式的和。判斷代數式是否是多項式，關鍵要看代數式中的每一項是否是單項式．每個單項式稱項，常數項，多項式的次數就是多項式中次數最高的次數。多項式的次數是指多項式里次數最高項的次數，這里

是次數最高項，其次數是6；多項式的項是指在多項式中，每一個單項式．特別注意多項式的項包括它前面的性質符號．

5.它們都是用字母表示數或列式表示數量關系。注意單項式和多項式的每一項都包括它前面的符號。

6.單項式和多項式統稱為整式。

2.2整式的加減

1.同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項。與字母前面的系數（≠0）無關。

2.同類項必須同時滿足兩個條件：

（1）所含字母相同；

（2）相同字母的次數相同，二者缺一不可．同類項與系數大小、字母的排列順序無關。

3.合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項。可以運用交換律，結合律和分配律。

4.合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母部分不變；

5.去括號法則：去括號，看符號：是正號，不變號；是負號，全變號。

6.整式加減的一般步驟：一去、二找、三合

（1）如果遇到括號按去括號法則先去括號

（2）結合同類項

（3）合并同類項

【數學大師】從算式到方程——由已知到未知

第三章 一元一次方程

3.1 一元一次方程

1.方程是含有未知數的等式。

2.方程都只含有一個未知數（元）x，未知數x的指數都是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程。

注意：判斷一個方程是否是一元一次方程要抓住三點：

1）未知數所在的式子是整式（方程是整式方程）；

2）化簡后方程中只含有一個未知數；

3）經整理后方程中未知數的次數是1.

3.解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，這個值就是方程的解。

4.等式的性質：

1）等式兩邊同時加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等；

2）等式兩邊同時乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。

注意：運用性質時，一定要注意等號兩邊都要同時變；運用性質2時，一定要注意0這個數。

3.2、3.3解一元一次方程

在實際解方程的過程中，以下步驟不一定完全用上，有些步驟還需重復使用. 因此在解方程時還要注意以下幾點：

①去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數，不要漏乘不含分母的項；分子是一個整體，去分母后應加上括號；去分母與分母化整是兩個概念，不能混淆。

②去括號：遵從先去小括號，再去中括號，最后去大括號；不要漏乘括號的項；不要弄錯符號。

③移項：把含有未知數的項移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊（移項要變符號） 移項要變號。

④合并同類項：不要丟項，解方程是同解變形，每一步都是一個方程，不能像計算或化簡題那樣寫能連等的形式。

⑤系數化為1：字母及其指數不變系數化成1，在方程兩邊都除以未知數的系數a，得到方程的解。不要分子、分母搞顛倒。

3.4 實際問題與一元一次方程

一、概念梳理

1.列一元一次方程解決實際問題的一般步驟是：

①審題，特別注意關鍵的字和詞的意義，弄清相關數量關系；

②設出未知數（注意單位）；

③根據相等關系列出方程；

④解這個方程；

⑤檢驗并寫出答案（包括單位名稱）。

2.一些固定模型中的等量關系及典型例題參照一元一次方程應用題專練學案。

二、思想方法（本單元常用到的數學思想方法小結）

1.建模思想：通過對實際問題中的數量關系的分析，抽象成數學模型，建立一元一次方程的思想。

2.方程思想：用方程解決實際問題的思想就是方程思想。

3.化歸思想：解一元一次方程的過程，實質上就是利用去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1等各種同解變形，不斷地用新的更簡單的方程來代替原來的方程，最后逐步把方程轉化為x=a的形式。體現了化“未知”為“已知”的化歸思想。

4.數形結合思想：在列方程解決問題時，借助于線段示意圖和圖表等來分析數量關系，使問題中的數量關系很直觀地展示出來，體現了數形結合的優越性。

5.分類思想：在解含字母系數的方程和含絕對值符號的方程過程中往往需要分類討論，在解有關方案設計的實際問題的過程中往往也要注意分類思想在過程中的運用。

三、數學思想方法的學習

1.解一元一次方程時，要明確每一步過程都作什么變形，應該注意什么問題。

2.尋找實際問題的數量關系時，要善于借助直觀分析法，如表格法，直線分析法和圖示分析法等。

3.列方程解應用題的檢驗包括兩個方面：

①檢驗求得的結果是不是方程的解；

②是要判斷方程的解是否符合題目中的實際意義。

四、應用（常見等量關系）

行程問題：s=v×t

工程問題：工作總量=工作效率×時間

盈虧問題：利潤=售價－成本

利率=利潤÷成本×100％

售價=標價×折扣數×10％

儲蓄利潤問題：利息=本金×利率×時間

本息和=本金+利息

第四章 幾何圖形初步

4.1 幾何圖形

1.幾何圖形：從形形的物體外形中得到的圖形叫做幾何圖形。

2.立體圖形：這些幾何圖形的各部分不都在同一個平面內。

3.平面圖形：這些幾何圖形的各部分都在同一個平面內。

4.雖然立體圖形與平面圖形是兩類不同的幾何圖形，但它們是互相聯系的。

立體圖形中某些部分是平面圖形。

5.三視圖：從左面看，從正面看，從上面看

6.展開圖：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形。這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖。

7.（1）幾何體簡稱體；包圍著體的是面；面面相交形成線；線線相交形成點；

（2）點無大小，線、面有曲直；

（3）幾何圖形都是由點、線、面、體組成的；

（4）點動成線，線動成面，面動成體；

（5）點：是組成幾何圖形的基本元素。

4.2 直線、射線、線段

1.直線公理：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。即：兩點確定一條直線。

2.當兩條不同的直線有一個公共點時，我們就稱這兩條直線相交，這個公共點叫做它們的交點。

3.把一條線段分成相等的兩條線段的點，叫做這條線段的中點。

4.線段公理：兩點的所有連線中，線段做短（兩點之間，線段最短）。

5.連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。

6.直線的表示方法：如圖的直線可記作直線ＡＢ或記作直線ｍ．

（1）用幾何語言描述右面的圖形，我們可以說：點P在直線AB外，點A、B都在直線AB上。

（2）如圖，點O既在直線m上，又在直線n上，我們稱直線m、n 相交，交點為O。

7.在直線上取點O，把直線分成兩個部分，去掉一邊的一個部分，保留點0和另一部分就得到一條射線，如圖就是一條射線，記作射線OM或記作射線a．

注意：射線有一個端點，向一方無限延伸．

8.在直線上取兩個點A、B，把直線分成三個部分，去掉兩邊的部分，保留點A、B和中間的一部分就得到一條線段．如圖就是一條線段，記作線段AB或記作線段a．

注意：線段有兩個端點．

4.3 角

1.角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫角。這個公共端點是角的頂點，兩條射線為角的兩邊。如圖，角的頂點是O，兩邊分別是射線OA、OB．

2.角有以下的表示方法：

①用三個大寫字母及符號“∠”表示．三個大寫字母分別是頂點和兩邊上的任意點，頂點的字母必須寫在中間．如上圖的角，可以記作∠AOB或∠BOA．

②用一個大寫字母表示．這個字母就是頂點．如上圖的角可記作∠O．當有兩個或兩個以上的角是同一個頂點時，不能用一個大寫字母表示．

③用一個數字或一個希臘字母表示．在角的內部靠近角的頂點

處畫一弧線，寫上希臘字母或數字．如圖的兩個角，分別記作∠

、∠1

3.以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制。角的度、分、秒是60進制的。

1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度

4.角的平分線：一般地，從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線。

5.如果兩個角的和等于90度（直角），就說這兩個叫互為余角，即其中每一個角是另一個角的余角；

如果兩個角的和等于180度（平角），就說這兩個叫互為補角，即其中每一個角是另一個角的補角。

6.同角（等角）的補角相等；同角（等角）的余角相等。

7.方位角：一般以正南正北為基準，描述物體運動的方向。