六年級上冊數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容;六年級上冊數(shù)學(xué)重要內(nèi)容筆記

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第一單元 分?jǐn)?shù)乘法

一、分?jǐn)?shù)乘法

(一)分?jǐn)?shù)乘法的意義：

1、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法的意義相同。都是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算。

例如：65×5表示求5個(gè)65的和是多少? 1/3×5表示求5個(gè)1/3的和是多少?

2、一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。　

例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。

4×3/8表示求4的3/8是多少.

(二)、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：

1、分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘：分子與整數(shù)相乘的積做分子，分母不變。(整數(shù)和分母約分)

2、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。注意：當(dāng)帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行計(jì)算。

3、為了計(jì)算簡便，能約分的要先約分，再計(jì)算。（盡量約分，不會約分的就不約，常考的質(zhì)因數(shù)有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）

4、小數(shù)乘分?jǐn)?shù)，可以先把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，也可以把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)再計(jì)算（建議把小數(shù)化分?jǐn)?shù)再計(jì)算）。

(三)、 乘法中比較大小的規(guī)律

　一個(gè)數(shù)(0除外)乘大于1的數(shù)，積大于這個(gè)數(shù)。

　一個(gè)數(shù)(0除外)乘小于1的數(shù)(0除外)，積小于這個(gè)數(shù)。

　一個(gè)數(shù)(0除外)乘1，積等于這個(gè)數(shù)。

(四)、分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)的運(yùn)算順序相同。整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，對于分?jǐn)?shù)乘法也同樣適用。

　　乘法交換律： a × b = b × a

　　乘法結(jié)合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )

　　乘法分配律： ( a + b )×c = a c + b c

二、分?jǐn)?shù)乘法的解決問題(已知單位“1”的量(用乘法)，即求單位“1”的幾分之幾是多少)

1、畫線段圖：(1)兩個(gè)量的關(guān)系：畫兩條線段圖，先畫單位一的量，注意兩條線段的左邊要對齊。(2)部分和整體的關(guān)系：畫一條線段圖。

2、找單位“1”： 單位“1” 在分率句中分率的前面；

或在“占”、“是”、“比”“相當(dāng)于”的后面。

3、寫數(shù)量關(guān)系式的技巧：

(1)“的” 相當(dāng)于 “×” ，“占”、“相當(dāng)于”“是”、“比”是 “ = ”

(2)分率前是“的”字：用單位“1”的量×分率=具體量

例如：甲數(shù)是20，甲數(shù)的1/3是多少？列式是：20×1/3

4、看分率前有沒有多或少的問題；分率前是“多或少”的關(guān)系式：

（比少）：單位“1”的量×(1-分率)=具體量；

例如：甲數(shù)是50，乙數(shù)比甲數(shù)少1/2，乙數(shù)是多少？

列式是：50×（1-1/2）

（比多）：單位“1”的量×(1+分率)=具體量　

例如：小紅有30元錢，小明比小紅多3/5，小紅有多少錢？

列式是：30×（1+3/5）

3、求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少：用 一個(gè)數(shù)×幾倍；

4、求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少： 用一個(gè)數(shù)×幾分之幾。

5、求幾個(gè)幾分之幾是多少：用幾分之幾×個(gè)數(shù)

6、求已知一個(gè)部分量是總量的幾分之幾，求另一個(gè)部分量的方法：

(1)、單位“1”的量×(1-分率)=另一個(gè)部分量（建議用）

(2)、單位“1”的量-已知占單位“1”的幾分之幾的部分量=要求的部分量

例如：教材15頁做一做和16頁練習(xí)第七題（題目中有時(shí)候會有這種題的關(guān)鍵字“其中”）

第二單元 位置與方向（二）

一、確定物體位置的方法：

1、先找觀測點(diǎn)；

2、再定方向（看方向夾角的度數(shù)）；

3、最后確定距離（看比例尺）

二、描繪路線圖的關(guān)鍵是選好觀測點(diǎn)，建立方向標(biāo)，確定方向和路程。

三、位置關(guān)系的相對性：兩地的位置具有相對性在敘述兩地的位置關(guān)系時(shí)，觀測點(diǎn)不同，敘述的方向正好相反，而度數(shù)和距離正好相等。

四、相對位置：東--西；南--北；南偏東--北偏西。

第三單元 分?jǐn)?shù)除法

倒數(shù):

1、倒數(shù)的意義： 乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

強(qiáng)調(diào)：互為倒數(shù)，即倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，倒數(shù)不能單獨(dú)存在。　(要說清誰是誰的倒數(shù))。

2、求倒數(shù)的方法：

(1)、求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：交換分子分母的位置。

(2)、求整數(shù)的倒數(shù)：把整數(shù)看做分母是1的分?jǐn)?shù)，再交換分子分母的位置。

(3)、求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。

(4)、求小數(shù)的倒數(shù)： 把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。

　3、 1的倒數(shù)是1； 因?yàn)?×1=1；0沒有倒數(shù)，因?yàn)?乘任何數(shù)都得0，(分母不能為0)

　4、真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大于1;假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于或等于1;帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于1。

5、運(yùn)用，a×2/3=b×1/4求a和b是多少。把a(bǔ)×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒數(shù)和求1/4的倒數(shù)。

1、分?jǐn)?shù)除法的意義：

乘法： 因數(shù) × 因數(shù) = 積

除法： 積 ÷ 一個(gè)因數(shù) = 另一個(gè)因數(shù)

分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的意義相同，表示已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

例如：1/2÷3/5意義是：已知兩個(gè)因數(shù)的積是1/2與其中一個(gè)因數(shù)3/5，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

2、分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：

除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

3、分?jǐn)?shù)除法比較大小時(shí)的規(guī)律：

(1)當(dāng)除數(shù)大于1，商小于被除數(shù);

(2)當(dāng)除數(shù)小于1(不等于0)，商大于被除數(shù);

(3)當(dāng)除數(shù)等于1，商等于被除數(shù)。

　“[ ]”叫做中括號。一個(gè)算式里，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面的， 再算中括號里面的。

二、分?jǐn)?shù)除法解決問題

1，解法：(1)方程： 根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。

解：設(shè)未知量為X （一定要解設(shè)）,再列方程 用 X×分率=具體量

例如：公雞有20只，是母雞只數(shù)的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數(shù)，單位一未知.）解：設(shè)母雞有X只。列方程為：X×1/3=20

(2)算術(shù)(用除法)：單位“1”的量未知用除法：

即已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。

分率對應(yīng)量÷對應(yīng)分率 = 單位“1”的量

例如：公雞有20只，是母雞只數(shù)的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數(shù)，單位一未知，）用除法，列式是：20÷1/3

2、看分率前有沒有比多或比少的問題；

分率前是“多或少”的關(guān)系式：

（比少）：具體量÷ (1-分率)= 單位“1”的量；

例如:桃樹有50棵，比蘋果樹少1/6，蘋果樹有多少棵。

列式是：50÷（1-1/6）

（比多）：具體量　÷ (1+分率)= 單位“1”的量

例如:一種商品現(xiàn)在是80元，比原價(jià)增加了1/7，原價(jià)多少？

列式是：80÷（1+1/7）

　3、求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少： 用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果寫為分?jǐn)?shù)形式。

例如:男生有20人，女生有15人，女生人數(shù)占男生人數(shù)的幾分之幾。

列式是：15÷20=15/20=3/4　

4、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾分之幾的方法：

用兩個(gè)數(shù)的相差量÷單位“1”的量 =分?jǐn)?shù)

即①求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫為分?jǐn)?shù)形式。

例如：5比3多幾分之幾？（5－3）÷3=2/3

②求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫為分?jǐn)?shù)形式。

例如：3比5少幾分之幾？（5－3）÷5=2/5

說明：多幾分之幾不等于少幾分之幾，因?yàn)閱挝灰徊煌?/span>

5、工程問題：把工作總量看作單位“1”，合做多長時(shí)間完成一項(xiàng)工程用1÷效率和，即1÷（1/時(shí)間+1/時(shí)間），（工作效率=1/時(shí)間）

例如：一項(xiàng)工程甲單獨(dú)做要5天完成，乙單獨(dú)做要10天完成，甲單獨(dú)做要3天完成，三人合做幾天可以完成？列式：1÷（1/5+1/10+1/3）

第四單元 比

(一)、比的意義

1、比的意義：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。

2、在兩個(gè)數(shù)的比中，比號前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。

例如 15 ：10 = 15÷10=3/2(比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示)

15 ∶ 10　 ＝　 3/2

前項(xiàng) 比號 后項(xiàng)比值

3、比可以表示兩個(gè)相同量的關(guān)系，即倍數(shù)關(guān)系。例：長是寬的幾倍。

也可以表示兩個(gè)不同量的比，得到一個(gè)新量。例： 路程÷速度=時(shí)間。

4、區(qū)分比和比值

比：表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，可以寫成比的形式，也可以用分?jǐn)?shù)表示。

比值：相當(dāng)于商，是一個(gè)數(shù)，可以是整數(shù)，分?jǐn)?shù)，也可以是小數(shù)。

5、根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，兩個(gè)數(shù)的比也可以寫成分?jǐn)?shù)形式。

6、比和除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系：

比 前 項(xiàng) 比號“：” 后 項(xiàng) 比值

除 法 被除數(shù) 除號“÷” 除 數(shù) 商

分 數(shù) 分 子 分?jǐn)?shù)線“—” 分 母 分?jǐn)?shù)值

7、比和除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別：除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，比表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系。

8、根據(jù)比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，可以理解比的后項(xiàng)不能為0。

9、體育比賽中出現(xiàn)兩隊(duì)的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個(gè)數(shù)相除的關(guān)系。

10、求比值：用前項(xiàng)除以后項(xiàng)，結(jié)果最好是寫為分?jǐn)?shù)（不會約分的就不約分）

例如：15∶ 10　＝15÷10＝15／10＝3/2

(二)、比的基本性質(zhì)

1、根據(jù)比、除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系：

商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)(0除外)，商不變。

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)時(shí)(0除外)，分?jǐn)?shù)值不變。

比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變。

2、最簡整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)，這樣的比就是最簡整數(shù)比。

3、根據(jù)比的基本性質(zhì)，可以把比化成最簡單的整數(shù)比。

4.化簡比：

(2)用求比值的方法。注意： 最后結(jié)果要寫成比的形式。

例如： 15∶10 = 15÷10 =15／10＝ 3/2 = 3∶2

還可以15∶10 = 15÷10 = 3/2　　　最簡整數(shù)比是3∶2

5、比中有單位的，化簡和求比值時(shí)要把單位化相同再化簡和求比值，結(jié)果沒有單位。

6.按比例分配：把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。這種方法通常叫做按比例分配。一般有兩種解題法

１，用分率解:按比例分配通常把總量看作單位一，即轉(zhuǎn)化成分率。要先求出總份數(shù)，再求出幾份占總份數(shù)的幾分之幾，最后再用總量分別乘幾分之幾。

例如：有糖水25克，糖和水的比為1:4，糖和水分別有幾克？

1+4=5 糖占1/5 用 25×1/5得到糖的數(shù)量，水占4/5 用 25×4/5得到水的數(shù)量。

2，用份數(shù)解：要先求出總份數(shù)，再求出每一份是多少，最后分別求出幾份是多少。

例如：有糖水25克，糖和水的比為1:4，糖和水分別有幾克？

糖和水的份數(shù)一共有1+4=5 一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4

第五單元 圓

一、圓的認(rèn)識

1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。

2、圓心：將一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心的一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母O表示。它到圓上任意一點(diǎn)的距離都相等.

3、半徑：連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用字母r表示。把圓規(guī)兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。

4、直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。直徑是一個(gè)圓內(nèi)最長的線段。

5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。

6、在同一個(gè)圓內(nèi)或等圓內(nèi)，有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

7.在同圓或等圓內(nèi)，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的1/2。用字母表示為：d=2r或r=d/2

8、軸對稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。

9、長方形、正方形和圓都是對稱圖形，都有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。

10、只有1條對稱軸的圖形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。只有2條對稱軸的圖形是： 長方形；只有3條對稱軸的圖形是： 等邊三角形；只有4條對稱軸的圖形是： 正方形;有無數(shù)條對稱軸的圖形是： 圓、圓環(huán)。

１１、畫對稱軸要用鉛筆畫，同時(shí)要用尺子（三角板）畫出虛線，這條虛線兩端要超出圖形一點(diǎn)。

二、圓的周長

1、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母C表示。

2、圓周率實(shí)驗(yàn)：（滾動法）在圓形紙片上做個(gè)記號，與直尺0刻度對齊，在直尺上滾動一周，得到圓的周長。或者用線圍繞圓形紙片一周量出線的長度就是圓的周長（測繩法）。

發(fā)現(xiàn)，圓周長與它直徑的比值（圓周長除以直徑）是一個(gè)固定數(shù)即３倍多一點(diǎn)，我們把它叫做圓周率用字母π表示。

3、圓周率：任意一個(gè)圓的周長與它的直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率。用字母π(pai) 表示。世界上第一個(gè)把圓周率算出來的人是我國的數(shù)學(xué)家祖沖之。

(1)、一個(gè)圓的周長總是它直徑的3倍多一些，這個(gè)比值是一個(gè)固定的數(shù)。圓周率π是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。在計(jì)算時(shí)，一般取π ≈ 3.14。

(2)、在判斷時(shí)，圓周長與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。　

4、圓的周長公式： 圓的周長等于圓周率乘直徑用字母表示C= πd

(1)、已知圓的周長求直徑用圓的周長除以圓周率，用字母表示

d = C ÷π或圓的周長等于２乘圓周率乘半徑，用字母表示C=2πr

(2)、已知圓的周長求半徑用圓的周長除以圓周率的２倍，

用字母表示 r = C ÷ 2π（r = C / 2π）

5、在一個(gè)正方形里畫一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。在一個(gè)長方形里畫一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。

6、區(qū)分周長的一半和半圓的周長：

(1)、周長的一半：等于圓的周長÷2

計(jì)算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r

(2)半圓的周長：等于圓的周長的一半加直徑。 計(jì)算方法：半圓的周長=5.14 r （推導(dǎo)過程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r）

三、圓的面積

1、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。 用字母S表示。

2、圓面積公式的推導(dǎo)：(1)把一個(gè)圓等分(偶數(shù)份)成的扇形份數(shù)越多，拼成的圖像越接近長方形。　長方形的長相當(dāng)于圓的周長的一半，長方形的寬相當(dāng)于圓的半徑。

(2)拼出的圖形與圓的周長和半徑的關(guān)系。

　　圓的半徑 　= 　　長方形的寬

　　圓的周長的一半　 = 　　長方形的長

3、圓面積的計(jì)算方法：因?yàn)椋洪L方形面積 = 長 ×寬

　所以：圓的面積 = 圓周長的一半 × 圓的半徑

　即S圓 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr

　圓的面積公式：S圓 =πr → 　　 r = S 圓÷ π

4、環(huán)形的面積：一個(gè)環(huán)形，外圓的半徑用字母R表示，內(nèi)圓的半徑用字母r表示。(R=r+環(huán)的寬度.)

S環(huán) = πR -πr 或環(huán)形的面積公式：S環(huán) = π(π (R2 – r2))（建議用這個(gè)公式）。

5、一個(gè)圓，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。而面積擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)是這倍數(shù)的平方倍。

例如：在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大3倍，那么直徑和周長就都擴(kuò)大3倍，而面積擴(kuò)大3的平方倍得到9倍。

6、兩個(gè)圓： 半徑比 = 直徑比 = 周長比；而面積比等于這比的平方。

例如：兩個(gè)圓的半徑比是2∶3，那么這兩個(gè)圓的直徑比和周長比都是2∶3，而面積比是4∶9

7、任意一個(gè)正方形與它內(nèi)切圓的面積之比都是一個(gè)固定值，即：4∶π

8、當(dāng)長方形，正方形，圓的周長相等時(shí)，圓面積最大，正方形居中，長方形面積最小。反之，面積相同時(shí)，長方形的周長最長，正方形居中，圓的周長最短。

9、常用各π值結(jié)果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7　

10、外方內(nèi)圓（內(nèi)切圓）公式S=0.86r 推導(dǎo)過程：S=S正-S圓=d -πr 　=2r×2r-πr =4r -πr =r ×(4-π)=0.86r

11、外圓內(nèi)方（外切圓）公式S=1.14r 推導(dǎo)過程：S=S圓-S正=πr -dr/2×2=2r×r/2×r=πr -2r =r ×(π-2)=1.14r （把正方形看成兩個(gè)面積相等的三角形，三角形的底就是直徑，高是半徑）

12、一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。扇形的面積與圓心角大小和半徑長短有關(guān)。

13、S扇=S圓×n/360；S扇環(huán)=S環(huán)×n/360

14、扇形也是軸對稱圖形，有一條對稱軸。

15、常見半徑與直徑的周長和面積的結(jié)果。

第六單元 百分?jǐn)?shù)（一）

一、百分?jǐn)?shù)的意義和寫法

（一）、百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。百分?jǐn)?shù)是指的兩個(gè)數(shù)的比，因此也叫百分率或百分比。

（二）、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的主要聯(lián)系與區(qū)別：

聯(lián)系：都可以表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系。

區(qū)別：①、意義不同：百分?jǐn)?shù)只表示兩個(gè)數(shù)的倍比關(guān)系，不能表示具體的數(shù)量，所以不能帶單位;分?jǐn)?shù)既可以表示具體的數(shù)，又可以表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，表示具體數(shù)時(shí)可以帶單位。

②、百分?jǐn)?shù)的分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù);

分?jǐn)?shù)的分子不能是小數(shù)，只能是除0以外的自然數(shù)。

3、百分?jǐn)?shù)的寫法：通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來分子后面加上“%”來表示，讀作百分之。

二、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化

(一)百分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化：

1、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：把小數(shù)點(diǎn)向右移動兩位（數(shù)位不夠用0補(bǔ)足），同時(shí)在后面添上百分號。

2. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位（數(shù)位不夠用0補(bǔ)足），同時(shí)去掉百分號。

(二)百分?jǐn)?shù)的和分?jǐn)?shù)的互化

1、百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分母是100的分?jǐn)?shù)，能約分要約成最簡分?jǐn)?shù)。

2、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：

① 用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分?jǐn)?shù)分母擴(kuò)大或縮小成分母是100的分?jǐn)?shù)，再寫成百分?jǐn)?shù)形式。

②先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)(除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。（建議用這種方法）

(三)常見分?jǐn)?shù)小數(shù)百分?jǐn)?shù)之間的互化；

三、用百分?jǐn)?shù)解決問題

(一)一般應(yīng)用題

1、常見的百分率的計(jì)算方法：

一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達(dá)到100%，出米率、出油率達(dá)不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。　

2、求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果寫為百分?jǐn)?shù)形式。

例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人數(shù)占男生人數(shù)的百分之幾。

列式是：15÷20=15/20=75﹪　

3、已知單位“1”的量(用乘法)，求單位“1”的百分之幾是多少的問題，數(shù)量關(guān)系式和分?jǐn)?shù)乘法解決問題中的關(guān)系式相同：

(1)百分率前是“的”： 單位“1”的量×百分率=百分率對應(yīng)量

(2百分率前是“多或少”的數(shù)量關(guān)系：

單位“1”的量×(1±百分率)=百分率對應(yīng)量

4、未知單位“1”的量(用除法)，已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。 方法與分?jǐn)?shù)的方法相同。

解法：　(1)方程： 根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。

(2)算術(shù)(用除法)： 百分率對應(yīng)量÷對應(yīng)百分率 = 單位“1”的量

5、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多(少)百分之幾的方法與分?jǐn)?shù)的方法相同。只是結(jié)果要寫為百分?jǐn)?shù)形式。看百分率前有沒有比多或比少的問題；

百分率前是“多或少”的關(guān)系式：

（比少）：具體量÷ (1-百分率)= 單位“1”的量；

例如:大米有50千克，比面粉樹少50﹪，面粉有多少千克。

列式是：50÷（1-50﹪）

（比多）：具體量　÷ (1+百分率)= 單位“1”的量

例如:工人做110個(gè)零件，比原計(jì)劃多做了10﹪，原計(jì)劃做多少個(gè)？

列式是：110÷（1+10﹪）

6、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾的方法：方法與分?jǐn)?shù)的方法相同。

用兩個(gè)數(shù)的相差量÷單位“1”的量 =百分之幾

即①求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫為百分?jǐn)?shù)形式。

甲比乙多幾分之幾的問題，方法A，（甲-乙）÷乙 （建議用）

方法B，甲÷乙-100﹪

例如：老師計(jì)劃改40本作業(yè)，實(shí)際改了50本，實(shí)際比計(jì)劃多改了百分之幾？

列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪

②求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫為百分?jǐn)?shù)形式。

乙比甲少幾分之幾的問題，方法A,（甲-乙）÷甲（建議用）

方法B， 100﹪-乙÷甲

例如：張三家用了100度電，李四家用了90度電，李四家比張三家少用百分之幾？

（100－90）÷100=0.1=10﹪

說明：多百分之幾不等于少百分之幾，因?yàn)閱挝灰徊煌?/span>

7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之幾，用a﹪÷（1±a﹪）

8、求價(jià)格先降a﹪又上升a﹪后的價(jià)格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假設(shè)原來的價(jià)格為“1”。求變化幅度（求降價(jià)后的價(jià)格是漲價(jià)后價(jià)格的百分之幾）用1-降價(jià)后又上升的百分率。

第七單元 扇形統(tǒng)計(jì)圖

一、扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義：用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個(gè)扇形面積表示各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。也就是各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分比(因此也叫百分比圖)。

二、常用統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)點(diǎn)：

1、條形統(tǒng)計(jì)圖：可以清楚的看出各種數(shù)量的多少。

2、折線統(tǒng)計(jì)圖：不僅可以看出各種數(shù)量的多少，還可以清晰看出數(shù)量的增減變化情況。

3、扇形統(tǒng)計(jì)圖：能夠清楚的反映出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。（要在統(tǒng)計(jì)圖上寫出百分率）

三、扇形的面積大小：在同一個(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形越大。(因此扇形面積占圓面積的百分比，同時(shí)也是該扇形圓心角度數(shù)占圓周角度數(shù)的百分比。)

四、應(yīng)用：1.會觀察統(tǒng)計(jì)圖。

2、你得到什么數(shù)學(xué)信息？

回答①、***占總體的百分之幾；

②、**占的百分比最多，**占的百分比最少；

3、你還能提什么數(shù)學(xué)問題：**和**一共占百分之幾。

第八單元 數(shù)學(xué)廣角 —— 數(shù)與形

1、每幅圖的圓點(diǎn)總數(shù)都可以看作是兩個(gè)相同的數(shù)相乘的積，這些算式還可以用平方數(shù)的形式來表示。 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42　　得出：從1起連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方。

2、從2起連續(xù)偶數(shù)的和等于偶數(shù)個(gè)數(shù)的平方加偶數(shù)個(gè)數(shù)（即（n2+n），或等于偶數(shù)個(gè)數(shù)乘比偶數(shù)個(gè)數(shù)大1的數(shù)即n×（n+1）。

如：

2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＝（110）

規(guī)律：從2開始的n個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和等于n×(n＋1)。

10×(10＋1)＝10×11＝110

從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和正好是這串?dāng)?shù)個(gè)數(shù)的平方。

補(bǔ)充內(nèi)容（位置）

1、我們用數(shù)對（數(shù)對：由兩個(gè)數(shù)組成，中間用逗號隔開，用括號括起來。括號里面的數(shù)由左至右為列數(shù)和行數(shù)，即“先列后行”）確定點(diǎn)的位置。如數(shù)對(3，5)表示：(第三列，第五行)

豎排叫列(從左往右看)橫排叫行(從前往后看)，先數(shù)列再數(shù)行。

2、平移時(shí)用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”來表述，平移時(shí)圖形的現(xiàn)狀不變。

3、圖形左、右平移： 行不變 ；圖形上、下平移： 列不變

補(bǔ)充內(nèi)容（“雞兔同籠”問題）

一、“雞兔同籠”問題的特點(diǎn)：

題目中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知數(shù)，要求根據(jù)總數(shù)量，求出各未知數(shù)的單量。

二、“雞兔同籠”問題的解題方法

1、假設(shè)法（1） 假如都是兔（2） 假如都是雞；

（一般假設(shè)都是大數(shù)（腳多的），再求出兩個(gè)腳的相差量，用大的相差量除以小的相差量得到小數(shù)（腳少的）最后再用總的頭減小數(shù)得到大數(shù)。（我們稱為設(shè)大得小，設(shè)小得大）

例，有34個(gè)同學(xué)去劃船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12條船剛好坐滿，問大船和小船各租了幾條。

假設(shè)法：

①假設(shè)全部是大船則坐12×4=48(人)

②那么實(shí)際人數(shù)與大船做的人數(shù)相差48-34=14(人)，

③實(shí)際一條大船比一條小船多坐4-2=2(人)

④大的相差量÷小的相差量得到小的量（即得到小船的數(shù)量），14÷2=7（條）

⑤總的船減小的船得到大的船12-7=5（條）。(要注意單位)

2、列方程法：例有34個(gè)同學(xué)去劃船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12條船剛好坐滿，問大船和小船各租了幾條。

解：設(shè)大船有X條，則小船有12-X條

4X+2×(12-X)=34 4X是大船坐的人數(shù)，4是大船每船坐4人，2×(12-X)是小船坐的人數(shù)，小船每船坐2人，有(12-X)條船，相加就得到總?cè)藬?shù)34人。2×(12-X)用乘法分配律計(jì)算得到24-2X.。

所以4X+2×(12-X)=34

4X+2×12-2×X=34

4X+24-2 X=34

2 X+24=34

2 X=34-24

2 X=10

X=5

12-5=7（條）

答：租大船5條，小船7條。

六年級上冊數(shù)學(xué)易錯(cuò)題(含答案)重點(diǎn)必考

①

1、在一個(gè)長8CM，寬6CM的長方形里剪一個(gè)半圓，它的最大直徑是（ ）CM

2、在同一個(gè)平面內(nèi)，兩個(gè)大小不同的圓可以組成的圖形最多可能有（　）條對稱軸，最少可能有（　）條對象軸。

３、半徑的長度是直徑的１／２（對或錯(cuò)）

４、因?yàn)镈=2R，所以同一個(gè)的兩要半徑一定能組成直徑（對或錯(cuò)）

②

1、有一種濃度為18%的農(nóng)藥200kg,為了得到濃度為10%的農(nóng)藥,需要加水多少千克？

2、修一座廠房，用了34萬元，比計(jì)劃節(jié)約百分之15，節(jié)約了多少萬元？

3、一件大衣，現(xiàn)價(jià)320元，比原價(jià)降低了80元，現(xiàn)價(jià)比原價(jià)降低了百分之幾？

4、少年共有兩個(gè)合唱隊(duì)，甲隊(duì)有50人，如果從甲隊(duì)調(diào)出10%到乙隊(duì)，甲隊(duì)人數(shù)比乙隊(duì)的92%少1人，乙隊(duì)現(xiàn)有多少人？

5、少年宮有兩個(gè)合唱隊(duì)，甲隊(duì)有50人，如果從甲隊(duì)調(diào)出10/100到乙隊(duì)，甲隊(duì)比乙隊(duì)的92/100少1人，乙隊(duì)原有學(xué)生多少人？

6、甲數(shù)的25%比乙數(shù)多20%，乙數(shù)是40，甲數(shù)是多少？

7、一根電線剪下2/5后，又接上18米，這樣比原來長1/5，這根電線原來長多少米？

8、一個(gè)圓環(huán)鐵片，外直徑是6分米，環(huán)寬1分米，這個(gè)圓環(huán)鐵片的面積是多少平方分米？

9、糧倉運(yùn)來320千克大米，第一次賣了3/8，第二次賣余下的1/6，這批大米比原來少了（ ）千克。

10、把一根9/10米的繩子平均分成3段，每段是全長的（ ），每段是3米的（ ）。

11、7/50平方米=（ ）平方分米

③

1、在面積是20平方厘米的正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是（ ）平方厘米。

2、小圓的半徑是4厘米，大圓的半徑是12厘米，小圓周長是大圓周長的（ ）。3、在一塊長10分米，寬6分米的長方形木板上鋸出一個(gè)最大的半圓，這個(gè)半圓的面積是（ ）平方分米。4、水結(jié)成冰，體積增加水的1/11，150立方米的冰化成水后，體積是多少。列式（ ）5、甲乙兩個(gè)工程隊(duì)，甲隊(duì)的人數(shù)比乙隊(duì)少30人，從甲隊(duì)抽5人到乙隊(duì)，這時(shí)甲隊(duì)的人數(shù)是乙隊(duì)的3/8，甲乙兩人原來各有多少人？6、把一個(gè)直徑為4CM的圓分成兩個(gè)半圓，這兩半圓的周長和是（ ）CM。

7、在一個(gè)長8厘米，寬6厘米的長方形中畫一個(gè)最大的半圓，半圓的周長是（ ）。

8、把一個(gè)半徑是3CM的圓分成若干等份，剪開拼成一個(gè)近似的長方形，這個(gè)近似的長方形的面積是（ ）CM2。周長是（ ）CM。

9、若小圓的直徑等于大圓的半徑，則大圓周長是小圓的（ ）倍。小圓的面積是大圓的（ ）。

10.一座掛鐘的分針長6CM，30分鐘分針?biāo)鶔哌^的面積是（ ）CM2。

11、一個(gè)半徑是3CM的圓，如果直徑增加2C同，那么面積增加（ ）CM2。

12、一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大2倍后的面積比原來多37.68CM2。原來圓的面積是（ ）CM2。

13.小玲媽進(jìn)了兩條不同的褲子,都賣了140元，賣出后媽媽說：“這兩條褲子一條提價(jià)10%，另一條降價(jià)10%,這兩條褲賠了多少？列式為（ ）

14.如果一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是1：1：2，那么這個(gè)三角形是( 　 )三角形.

答案：①

1、8CM ２、無數(shù)　１　３、錯(cuò)（要在同一圓） 4、錯(cuò)

②

1、有一種濃度為18%的農(nóng)藥200kg,為了得到濃度為10%的農(nóng)藥,需要加水多少千克？

解：設(shè)需要加水x千克

200*18%=（200+x）*10%

x=160千克

用算式解:200*18%/10%-200=360-200 =160千克

2.修一座廠房，用了34萬元，比計(jì)劃節(jié)約百分之15，節(jié)約了多少萬元？

計(jì)劃：34÷（1-15%）=40萬元

節(jié)約了40×15%=6萬元

一件大衣，現(xiàn)價(jià)320元，比原價(jià)降低了80元，現(xiàn)價(jià)比原價(jià)降低了百分之幾？

80/(320+80)=20%

4.少年共有兩個(gè)合唱隊(duì)，甲隊(duì)有50人，如果從甲隊(duì)調(diào)出10%到乙隊(duì)，甲隊(duì)人數(shù)比乙隊(duì)的92%少1人，乙隊(duì)現(xiàn)有多少人？

設(shè)乙隊(duì)原有x人，甲隊(duì)調(diào)出10%即為5人到乙隊(duì)，則甲隊(duì)現(xiàn)有45人，乙隊(duì)有現(xiàn)x+5人，列出方程式：45=92%(x+5)-1 得出x=45.乙隊(duì)現(xiàn)有x+5即 50 人。

5.少年宮有兩個(gè)合唱隊(duì)，甲隊(duì)有50人，如果從甲隊(duì)調(diào)出10/100到乙隊(duì)，甲隊(duì)比乙隊(duì)的92/100少1人，乙隊(duì)原有學(xué)生多少人？

從甲隊(duì)調(diào)出10/100到乙隊(duì)，甲隊(duì)還有：

50×（1－10%）＝45（人）

此時(shí)乙隊(duì)有：

（45＋1）÷92%＝50（人）

乙隊(duì)原有學(xué)生：50－50×10%＝45（人

6、甲數(shù)的25%比乙數(shù)多20%，乙數(shù)是40，甲數(shù)是多少？

設(shè)甲數(shù)是x， 則有25%x-40=40×20%

甲是乙的 (1+0.2)/0.25=4.8倍

甲數(shù)為 40×4.8=192

7、一根電線剪下2/5后，又接上18米，這樣比原來長1/5，這根電線原來長多少米？18÷(2/5+1/5)=30

8、一個(gè)圓環(huán)鐵片，外直徑是6分米，環(huán)寬1分米，這個(gè)圓環(huán)鐵片的面積是多少平方分米？3.14×(32-22)=15.7平方分米

9、糧倉運(yùn)來320千克大米，第一次賣了3/8，第二次賣余下的1/6，這批大米比原來少了（ ）千克。320×3/8=120 320-120=200 200×1/6=33又1/3 120+33又1/3=153又1/3

10、（1/3）（1/10）

11、7/50平方米=（14）平方分米

③

1、在面積是20平方厘米的正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是（ 15.7 ）平方厘米。

2、小圓的半徑是4厘米，大圓的半徑是12厘米，小圓周長是大圓周長的（1/3 ）。

3、在一塊長10分米，寬6分米的長方形木板上鋸出一個(gè)最大的半圓，這個(gè)半圓的面積是（ 39.25 ）平方分米。。

4、水結(jié)成冰，體積增加水的1/11，150立方米的冰化成水后，體積是多少。列式（ 150÷（1+1/11））

5、甲乙兩個(gè)工程隊(duì)，甲隊(duì)的人數(shù)比乙隊(duì)少30人，從甲隊(duì)抽5人到乙隊(duì)，這時(shí)甲隊(duì)的人數(shù)是乙隊(duì)的3/8，甲乙兩人原來各有多少人？

30+5=35 1-3/8=5/8 35÷5/8=56

56-5=51 51-30=21

6、把一個(gè)直徑為4CM的圓分成兩個(gè)半圓，這兩半圓的周長和是（ 20.56 ）CM。

7、在一個(gè)長8厘米，寬6厘米的長方形中畫一個(gè)最大的半圓，半圓的周長是（ 20.56 ）。

8、把一個(gè)半徑是3CM的圓分成若干等份，剪開拼成一個(gè)近似的長方形，這個(gè)近似的長方形的面積是（28.26）CM2。周長是（24）CM。24

9、若小圓的直徑等于大圓的半徑，則大圓周長是小圓的（ 2、 ）倍。小圓的面積是大圓的（1/4 ）。

10.一座掛鐘的分針長6CM，30分鐘分針?biāo)鶔哌^的面積是（ 56.52）CM2。

11、一個(gè)半徑是3CM的圓，如果直徑增加2C同，那么面積增加（21.98）CM2。

12、一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大2倍后的面積比原來多37.68CM2。原來圓的面積是（ 12.56 ）CM2。

13.小玲媽進(jìn)了兩條不同的褲子,都賣了140元，賣出后媽媽說：“這兩條褲子一條提價(jià)10%，另一條降價(jià)10%,這兩條褲賠了多少？列式為（ 140/(1+10%) ）

14.如果一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是1：1：2，那么這個(gè)三角形是( 等腰直角　 )三角形.