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圖形存在問(wèn)題在各地中考中屢見(jiàn)不鮮.這類(lèi)問(wèn)題常常以圖形的變化或圖形上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為主線，要求我們判斷和說(shuō)明符合某一結(jié)論的現(xiàn)象是否存在.解答這類(lèi)問(wèn)題，可首先假設(shè)這種現(xiàn)象存在，再考慮利用化“動(dòng)”為“靜”的策略，構(gòu)造方程關(guān)系式或函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行判斷和說(shuō)明.下面舉例說(shuō)明如何利用模型法破解等腰三角形存在性問(wèn)題。

“兩圓一線”模型：

在平面直角坐標(biāo)系中遇到等腰三角形的相關(guān)問(wèn)題后，通常是以頂點(diǎn)作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，這樣就可以構(gòu)造輔助圓來(lái)解決問(wèn)題。比如下圖中，確定一點(diǎn)M，使三角形ABM為等腰三角形，處理方法如下：當(dāng)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)的軌跡就是以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓，然后根據(jù)約束條件來(lái)求解；當(dāng)以點(diǎn)B為頂點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)的軌跡就是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓上，然后根據(jù)約束條件來(lái)求解；當(dāng)以點(diǎn)M為頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡就在線段AB的垂直平分線上，然后根據(jù)約束條件來(lái)求解。

如：已知：定點(diǎn)A(2，1),B(6，4)和動(dòng)點(diǎn)M（m，0）,可通過(guò)“兩圓一線”模型確定存在等腰三角形ABM。

類(lèi)型1 等腰三角形的計(jì)數(shù)問(wèn)題（難點(diǎn)）

例1（2018秋?沙洋縣期中）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），為軸上一點(diǎn)，且使得△為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】借助“兩圓一線”模型分析，分別以、為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，與軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，再作線段的垂直平分線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也是所求的點(diǎn)，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．

【解答】如圖，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4．故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒(méi)有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類(lèi)討論．

變式1（2017秋?高郵市月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸上，若以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．2或4

【分析】借助“兩圓一線”模型分析，分為三種情況：①＝，②＝，③＝，分別畫(huà)出即可．

【解答】當(dāng)與軸正半軸夾角不等于60°時(shí)，以為圓心，以為半徑畫(huà)弧交軸于

點(diǎn)和′，此時(shí)三角形是等腰三角形，即有2個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)；

以為圓心，以為半徑畫(huà)弧交軸于點(diǎn)″（除外），此時(shí)三角形是等腰三角形，即有1個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)；作的垂直平分線交軸于一點(diǎn)，則＝，此時(shí)三角形是等腰三角形，即有2個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)；2+1+1＝4，當(dāng)與軸正半軸夾角等于60°的時(shí)候，圖中的，'和'會(huì)重合，是一個(gè)點(diǎn)，加上原來(lái)的負(fù)半軸的點(diǎn)，總共2個(gè)點(diǎn)，故選：．

變式2（2018秋?泰興市期中）如圖，∠＝45°，點(diǎn)，在邊上，＝3，＝7，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，要使點(diǎn)，，構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)有個(gè)．

【分析】借助“兩圓一線”模型分析，先求出點(diǎn)、到在的距離，再根據(jù)等腰三角形的判定逐個(gè)畫(huà)出即可．

【解答】過(guò)作′⊥于′，過(guò)作′⊥于′，

∵＝3，＝7，∠＝45°，∴＝4，′＝×sin45°＝3√2/2＜4，

′＝×sin45°＝7√2/2＞4，＝′′＝4×sin45°＝2√2＜4，

所以只有一小兩種情況：①以為圓心，以4為半徑畫(huà)弧，交直線于、，此時(shí)△和△都是等腰三角形；

②作線段的垂直平分線，交直線于，此時(shí)△是等腰三角形，

即有3個(gè)點(diǎn)符合，故答案為：3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．

類(lèi)型2 涉及等腰三角形的判定的探究問(wèn)題(熱點(diǎn))

例2（2018秋?江陰市期中）已知：如圖1：射線MN⊥AB于點(diǎn)M，點(diǎn)C從M出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線MN運(yùn)動(dòng)，AM＝1，MB＝4，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，

（1）當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，求t的值；

（2）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若△ABC為鈍角三角形，則t的取值范圍是．

【分析】（1）借助“兩圓一線”模型分析探究動(dòng)點(diǎn)C的位置，分CB＝AB、AB＝AC和AC＝BC三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算即可；

（2）根據(jù)勾股定理列式計(jì)算；

（3）由②的結(jié)論結(jié)合圖形解答即可；

【解答】（1）當(dāng)CB＝AB時(shí)，

在Rt△MCB，BC＝5，BM＝4，由勾股定理得：MC＝3，則t＝3s；

當(dāng)AB＝AC時(shí)，在Rt△MCA，AM＝1，AC＝5，

由勾股定理得：MC＝2√6，則t＝2√6s；

當(dāng)AC＝BC時(shí)，C在AB的垂直平分線上，與條件不合；

∴當(dāng)t＝3s或2√6s時(shí)，△ABC為等腰三角形；

（2）∵由題意∠ACB＝90°時(shí)，∴AC+BC＝AB，

設(shè)CM＝x，在Rt△MCB中由勾股定理得：BC＝x+4，

在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC＝x+1，

∴x+4+x+1＝5，解得x＝2，∴t＝2s；

（3）∵當(dāng)t＝2時(shí)，△ABC為直角三角形，

∴0＜t＜2時(shí)，△ABC為鈍角三角形；

故答案為：0＜t＜2；

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．

類(lèi)型3 函數(shù)背景下涉及等腰三角形的判定的探究問(wèn)題(熱點(diǎn))

例3（2018秋?慈利縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（0，2），且與反比例函數(shù)＝8/x在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)，作⊥軸于點(diǎn)，＝2．

（1）求直線的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，若△的面積等于6，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，且△為等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【分析】（1）由⊥軸，＝2，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得此一次函數(shù)的解析式；

（2）由點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，若△的面積等于6，可求得的長(zhǎng)，繼而求得點(diǎn)的坐標(biāo)．；

（3）借助“兩圓一線”模型分析探究動(dòng)點(diǎn)M的位置，分類(lèi)討論：以為底和以為腰兩種情況來(lái)解答．

【解答】（1）∵⊥軸，＝2，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，

將＝2代入＝8/x，得＝4，∴（2，4），

設(shè)直線的函數(shù)解析式為＝+（≠0），

將點(diǎn)（0，2）、（2，4）代入＝+得b=2,2k+b=4，∴k=1,b=2，

∴直線的函數(shù)解析式為＝+2；

（2）∵點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，若△的面積等于6，（2，4），

即＝1/2×2＝6，∴＝6，

∵（0，2），∴（0，8）或（0，﹣4）．

（3）∵（2，4），（0，2），∴＝2√2．

①當(dāng)＝時(shí)，點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)，此時(shí)（0，6）；

②當(dāng)＝＝2√2時(shí)，′（0，2+2√2），或″（0，2﹣2√2）．

③當(dāng)＝時(shí)，（0，4）．

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，6）或（0，2+2√2）或（0，2﹣2√2）或（0，4）．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

練習(xí)1.（2018秋?易門(mén)縣期中）如圖，拋物線＝+3+經(jīng)過(guò)（﹣1，0），（4，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)在第一象限的拋物線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線交直線于點(diǎn)，設(shè)線段的長(zhǎng)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值；

（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【練習(xí)1答案及提示】（1）y＝﹣x+3x+4；

拋物線y＝ax+3x+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（4，0），把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，解得：a＝﹣1，c＝4，即可求解，

（2）當(dāng)t＝2時(shí)，m的最大值為4

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則P（t，﹣t+3t+4），Q（t，﹣t+4），則PQ＝﹣t+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t+4t，即可求解；m＝﹣t+4t＝﹣（t﹣2）+4（0＜t＜4）．

（3）存在．分EC＝BE、BC＝CE、BC＝BE分別求解即可．E（﹣4.0）或（4，0）或（0，0）或（4﹣4√2，0）或（4+2√2）．

滿(mǎn)分技法: 等腰三角形的存在問(wèn)題分解題策略

1. 假設(shè)結(jié)論成立；

2. 找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：

① 當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知條件上滿(mǎn)足直線的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，若所畫(huà)弧與坐標(biāo)軸或拋物有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫(huà)弧與坐標(biāo)軸或拋物線無(wú)交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)不存在；

② 當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長(zhǎng)的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，那交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線無(wú)交點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn).

3. 計(jì)算：在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒(méi)有相似三角形，可以通過(guò)添加輔線構(gòu)造相似三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。

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