過阻尼的阻尼范圍_過阻尼穩定嗎

來源：中國人民教育出版社網，作者：何烈云。

簡諧運動在不考慮摩擦和其他阻力等因素的影響時，振動過程中系統的機械能守恒，所以不管是單擺還是彈簧振子在振動過程中振幅始終保持不變，這種振動稱為無阻尼振動。然而，實際的振動總要受到阻力的影響，由于要克服阻力做功，振動系統的機械能不斷減少。同時振動系統與周圍介質相互作用，振動向外傳播形成波，隨著波的傳播，系統的機械能不斷減少，因此振幅也逐漸減小。這種振幅逐漸減小的振動叫做阻尼振動，阻尼振動的圖象如圖1所示。

圖1

在這兩方面一般會存在這樣的疑問：

• 一是，阻尼振動是否具有“周期性”；
• 二是，阻尼振動是否具有“等時性”（振子連續兩次通過平衡位置的時間間隔相同）。

一、定性分析

要想知道阻尼振動是否具有“周期性”，首先要知道什么是機械振動的周期。定義是：物體完成一次全振動所需的時間，叫做振動的周期。在周期的定義中存在全振動這個概念，全振動是指做機械振動的物體從某個點出發，等到下次回到該點時的運動狀態和開始振動時的運動狀態完全相同，且所用時間最短。所以能重復原來的運動狀態（位移、速度、加速度等）的機械振動才是全振動，非等幅的阻尼振動不是全振動，所以它是沒有周期的。

關于阻尼振動是否具有“等時性”，有兩種不同的說法：

• 第一種說法認為具有“等時性”，理由是阻尼振動的振幅雖然在不斷減小，但可以看成是由很多個振幅不斷減小的簡諧運動的疊加，由于簡諧運動具有等時性，它的周期與振幅無關，所以阻尼振動和簡諧運動的相位是一致的，節奏也是相同的，所以具有“等時性”。
• 第二種說法認為不具有“等時性”，理由是物體做阻尼振動時，由于機械能的損失。振子前后兩次通過同一點時，后一次的速度肯定比前一次的小。這樣，從平衡位置到達最大位移處的平均速度總比返回時的平均速度大，所以回來就變慢了，對應的時間也就長了。按這種推理，阻尼振動的振動節奏會變得越來越慢，最后停止下來，周期變為無窮大，所以不具有“等時性”。

二、定量分析

彈簧振子在油中或較粘稠的液體中的緩慢運動是阻尼振動的典型例子，如圖2所示，由流體力學可知，彈簧振子在油中或較粘稠的液體中運動時所受阻力的大小和速度的大小成正比，由牛頓第二定律，得

圖2

式中，Υ 是阻尼系數。兩邊除以m，得

令

ω0為振動系統的固有圓頻率；β 為阻尼系數，和振動系統的性質以及介質的性質有關。于是，方程可寫為

這里我們討論的是阻力很小的欠阻尼狀態的阻尼振動，即β＜ω0，由上式可求出彈簧振子中質點的運動學方程為

式中，A 和a 為待定常數，由初始條件決定。此式中包含兩個因子，Ae-βt 表示隨時間衰減的振幅，cos(ω't＋a) 表示振動以ω' 為圓頻率周期地變化，二因子相乘表示質點做運動范圍不斷縮小的往復運動。由于質點的運動狀態不可能每經過一定時間便完全重復出現，因此阻尼振動不是周期運動。不過，cos(ω't＋a) 是周期變化的，它保證了質點每連續兩次通過平衡位置并沿相同方向運動的時間間隔是相同的，可見“等時性”具有非常嚴格的條件。而且由于

大于彈簧振子系統的固有周期T=2π/ω0，可見阻尼振動的節奏變慢了。

三、結 論

比較由定性分析和定量分析得出的結論，阻尼振動不具有“周期性”的觀點是相同的，但關于阻尼振動是否具有“等時性”的分析結果是不一樣的。

只有通過定量分析的結論才是可靠的、正確的，仔細分析定性分析的兩種說法中，推理都不嚴密并且是片面的，從而導致錯誤的結論。

• 定性分析中的第一種說法沒有考慮到振子做阻尼振動時，由于阻力的影響回復力的大小不再和位移成正比，得出“阻尼振動和簡諧運動相位是一致的，節奏也是相同的”的錯誤結論。
• 定性分析中的第二種說法只考慮了振子從平位置出發到達最大位移處，又從最大位移處返回到平衡位置，即在圖1中的0～2 或2～4 這段時間的運動情況，沒有把運動過程進行整體分析，從而忽視了在平均速度減小的同時，振子從平衡位置出發往復一次所經過的路程也變短了，導致得出錯誤的結論。

綜上所述，阻尼振動不是周期性運動，但是質點連續兩次通過平衡位置并沿相同方向運動所需的時間間隔是相同的。討論阻尼振動時不能照搬簡諧運動的規律，也不能做簡單的定性分析，必要時還要做定量分析，否則就容易得出錯誤的結論。

參考文獻：

漆安慎，杜彈英。力學。北京：高等教育出版社，1997．280～281

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